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在这个星球上，如果我们每一个人都牵手相连，形成一条环绕地球的巨大链条，我们真的有足够的人吗？地球上有大约75亿人，这个数字听起来非常庞大。但你知道吗，如果将这些人体堆积在一起，它们甚至无法填满大峡谷。这就是我们所有人的物理存在，如果集中在一起，只能构成一个大约7000人高、2000人宽的圆锥体。然而，这只是三维形状的概念。如果我们排成一维的单行队伍，每个人占据1米的空间，围绕地球一圈，我们不仅能够环绕地球，而且还会剩下99.5%的人口。
今天，让我们来聊聊圆周，特别是那些滚动的圆周曲线。滚动，是一种相对运动，当物体相对于另一个物体滚动时，它们始终保持接触，且接触点的瞬时速度为零，也就是说，没有滑动。数学上，这种由滚动物体上的点描绘出的路径称为圆周曲线（roulette），这是一个法语词汇，意为“小轮子”。
当圆盘在直线上滚动时，圆盘中心的圆周曲线是一条平滑的直线。而正方形则会非常颠簸，但正方形的中心也能在适当的表面上描绘出平滑的圆周曲线。这就是方形轮子背后的原理，我最近在纽约市数学博物馆有幸体验了这一点。Stqn Wagon 写了一篇关于轮子的精彩文章，并在Wolfram演示项目中贡献了一个互动工具，你可以构建一个轮子，并找到对应的道路形状，使其能够平滑滚动。
圆盘在直线上滚动时，圆周曲线有一个特殊名称，叫做摆线（trochoid）。根据圆周上的点是在圆盘的内部、外部还是圆周上，摆线可以是 prolates（内部点）、 curtate（外部点）或 cycloid（圆周点）。
我最近与Adam Savage合作，准备我们的“Brain Candy Live”巡演。我向他提出了关于摆线的挑战，他提议我们制作一个真实的摆线曲线，让物体在上面滚动。我们讨论了如何制作一个摆线轨道，并决定制作一个清晰的有机玻璃摆线模型，以便更清楚地观察。
现在，让我们回到一个有趣的问题：在一个点到一个非直接下方的另一点之间，在没有其他外力作用的情况下，最快的滚动或滑动路径是什么？直觉可能会告诉我们是直线，但这是 shortest path，而不是 fastest path。当物体下落时，重力会加速它，如果一开始就垂直下落，物体会在旅程的大部分时间达到更高的速度，这可能会使得一个更长的路径成为最快路径。
这个问题背后的数学是著名的最速降线问题（Brachistochrone problem），1697年，Johann Bernoulli提出了这个问题的解决方案。他使用了一个非常巧妙的方法，通过观察光在介质中改变速度时的折射规律（Snell's law），发现最速降线实际上是一条摆线。
Adam和我开始制作摆线轨道，我们使用了一个圆来描绘摆线曲线，并将这个模型转移到有机玻璃上。我们制作了一个带有沟槽的支撑结构，以便放置有机玻璃片，并确保它们在滚动时保持稳定。
我们最终制作的摆线轨道证明了摆线是最速降线。无论物体从轨道上的哪个点开始，它们都会在相同的时间内到达底部。这是一个非常酷的物理现象，也是数学和物理学在实际世界中的美妙应用。
通过这次探索，我们不仅将理论转化为现实，还将抽象的概念变成了可以触摸和体验的实体。这就是“Brain Candy”的魅力所在，将理论和实践结合起来，创造出既有趣又有教育意义的内容。
感谢观看，希望你们在日常生活中也能找到自己的“摆线”，那个能够将你们和其他人连接在一起的解决方案，无论你们从哪里开始。
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