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在数学的奇妙的宫殿中，有一位数学家手持一把标准的无限锋利的刀，和一个完美的球。她疯狂地切割这个球，将其分配到无数个盒子里。然后，她以令人难以置信的方式，将这些部分重新组合成五个精确的部分。轻轻移动和旋转这些部分，她似乎不可能地再次将它们组合成两个与原球完全相同、无瑕的复制品。
这个结果在数学中被称为“Banach-Tarski悖论”。悖论之处不在于逻辑或证明——它们如同球一样无瑕——而在于数学与我们现实体验之间的张力。正是这种张力中，居住着关于数学本质的一些美丽而根本的真理。
但我们稍后再回到这一点，首先，我们需要探讨每一个数学系统的基础：公理。每个数学系统都是通过使用逻辑来达到新的结论而构建和发展的。但逻辑不能应用于无，我们必须从一些我们宣布为真的基本陈述——即公理——开始，并从中进行推导。
这些公理通常符合我们对世界如何运作的直觉——例如，加零对数字没有影响是一条公理。如果数学的目标是建造一座房子，那么公理就是它的地基——最先铺设的东西，支撑着一切。有趣的地方在于，通过铺设一个略有不同的地基，你可以得到一个截然不同但同样坚固的结构。
例如，当欧几里得为几何学奠定基础时，他的公理之一意味着给定一条直线和一个直线外的点，只有一条通过该点的平行线存在。但后来的数学家们想要探究如果没有这条公理，几何学是否仍然可能，于是产生了球面几何和双曲几何。
每一种都在不同的情境下有效、逻辑上成立且有用。现代数学中一个常见的公理是选择公理。它通常出现在需要从集合中选择元素的证明中——我们可以将这个简化为盒子里的弹珠。为了使我们的选择有效，它们需要是一致的，这意味着如果我们接近一个盒子，选择一个弹珠，然后回到过去再次选择，我们知道如何找到同一个弹珠。
如果我们有有限数量的盒子，这很简单。即使有无穷多的盒子，如果每个盒子里都有一个容易区分的弹珠，这也很容易。但当盒子里有无穷多的不可区分的弹珠时，我们就遇到了问题。然而，在这些情况下，选择公理允许我们召唤一个神秘的无所不知的选择者，它总能选择相同的弹珠——而无需我们了解这些选择是如何进行的。
我们的这位热衷于切割的数学家，遵循Banach和Tarski的证明，在构造五个部分的过程中达到了一个步骤，她有无数个装满不可区分部分的盒子。因此，她需要选择公理来使构造成为可能。如果选择公理能导致如此反直觉的结果，我们是否应该直接拒绝它呢？现今的数学家们说，不，因为它对许多重要的数学结果至关重要。
诸如测度论和泛函分析等领域能够为统计学和物理学提供关键支持，正是建立在选择公理之上的。虽然它导致了一些不切实际的结果，但也导致了极其实用的结果。幸运的是，正如欧几里得几何与双曲几何共存，有选择公理的数学和无选择公理的数学也能共存。
对于许多数学家来说，问题不在于选择公理或任何给定公理是否正确，而在于它是否适合你试图做的事情。Banach-Tarski悖论的命运就取决于这个选择。这正是数学给我们的自由。它不仅是用我们从日常经验中直觉到的公理来模拟物理宇宙的一种方式，也是进入抽象的数学宇宙、探索独特的几何和不同于我们任何体验的法律的一种方式。
如果我们有一天遇到外星人，对我们来说似乎荒谬不可理解的公理，对他们来说可能是日常的常识。为了探究这一点，我们可能会首先给他们一把无限锋利的刀和一个完美的球，看看他们会怎么做。
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