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在数学与艺术的交汇处，彭罗斯镶嵌（Penrose Tilings）以其独特的魅力吸引着无数探索者的目光。你或许曾听说过这些迷人的几何图案——它们永不重复。是的，尽管它们看起来在各个部分都极为相似，有着完美匹配的小块，但整体上，无论怎样移动和旋转，都无法完全对齐。
那么，彭罗斯镶嵌究竟是如何制作的？我们如何确定它们永不重复？这些问题曾让我只能接受他人的说法，直到最近我发现了彭罗斯镶嵌内部的隐藏模式——五栅格（pentagrid）。这个发现或许是我理解彭罗斯镶嵌的最佳途径。
让我们从一个单独的瓦片开始。突出显示相邻的、边缘平行的瓦片，你会得到一条蛇形但总体上呈直线延伸的瓦片带。选择另一个具有相同方向的瓦片，你可以制作出一条与第一条平行的瓦片带，并可以继续这个过程。
如果你从原图案的另一个边缘开始，你会得到另一条瓦片带，还有一系列与之平行的瓦片带。事实上，如果你制作一个稍微复杂的彭罗斯镶嵌版本，并按照瓦片的朝向给它们上色，你会看到一系列瓦片带跃然纸上。
如果你有一组平行的直线，你可以复制并旋转它们形成一个网格。你可能熟悉平方网格，其中两组线相互旋转90度均匀交叉。你可能也见过三角形网格，其中三组线均匀旋转60度交叉。如果你创建一个由五组线均匀旋转并交叉于36度或72度的网格，你将得到一个五栅格。
彭罗斯镶嵌由五组平行的瓦片带组成，因为它们实际上是一样的。要制作彭罗斯镶嵌，你只需从一个五栅格开始，在每两条线交叉的点处画一个瓦片，使其边缘与这两条线垂直。这样，沿线的下一个交叉处的瓦片边缘将与第一个瓦片的边缘平行，以此类推。
这不是一个证明，但至少可以让你尝到非重复性的味道。假设一条瓦片带确实重复了，那么在某个时间点，你将反复看到相同的厚薄瓦片模式。因此，厚瓦片与薄瓦片的比率将是一个有理数。
在彭罗斯镶嵌中，我们可以直接计算出薄瓦片与厚瓦片的比率。由于瓦片带对应于五栅格线上的交叉点，厚瓦片来自72度线的交叉点，而薄瓦片来自36度线的交叉点。一些基本的三角学表明，36度线的间距是1除以36度的正弦值，而72度线的间距是1除以72度的正弦值。因此，厚瓦片与薄瓦片的比率正是这两个数的比率，它恰好是黄金比例，这是一个无理数。
如果图案确实重复了，那么厚瓦片与薄瓦片的比率必须是有理数，而黄金比例不是有理数。当然，这只是证明了图案在一个方向上不能重复，完整的证明要复杂一些。
彭罗斯镶嵌的五栅格揭示了其永不重复的秘密，也为我们提供了一个探索数学之美的窗口。现在，你可以通过互动网站来玩转彭罗斯图案，发现更多迷人的几何模式。
去玩耍吧，探索彭罗斯镶嵌的美妙世界，并分享你最美丽的图案。
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